伴隨函子

設${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2},\;G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}}$為函子，若存在雙函子的同構

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G(-))}$

則稱${\displaystyle F,G}$為一對伴隨函子，${\displaystyle G}$稱為${\displaystyle F}$的右伴隨函子，而${\displaystyle F}$是${\displaystyle G}$的左伴隨函子。

上述同構進一步給出兩個同構

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F\circ G(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(G(-),G(-))}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),F(-))\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G\circ F(-))}$

分別在同構的左右兩側置${\displaystyle \mathrm {id} _{F(-)}}$與${\displaystyle \mathrm {id} _{G(-)}}$，遂得到函子間的態射（即自然變換）：

${\displaystyle \mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{1}}\to G\circ F\quad }$（單位）

${\displaystyle F\circ G\to \mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{2}}\quad }$（上單位）

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

设${\displaystyle F,G}$是一對伴隨函子，若${\displaystyle F}$為右正合则${\displaystyle G}$為左正合；此命題可由正合函子與極限的定義直接導出。

伴隨函子在數學中處處可見，以下僅舉出幾個例子：

• 自由對象與遺忘函子是一對伴隨函子，舉群範疇為例，此時單位態射不外是集合${\displaystyle X}$到它生成的自由群${\displaystyle F(X)}$的包含映射。
• 積與對角函子。
• 設${\displaystyle R}$為環，${\displaystyle M}$為右${\displaystyle R}$-模，則${\displaystyle M\otimes _{R}-:_{R}\mathbf {Mod} \to \mathbf {Ab} }$與${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(-,M):\mathbf {Ab} \to _{R}\mathbf {Mod} }$為一對伴隨函子。當${\displaystyle R}$可交換時，上式的${\displaystyle \mathbb {Z} }$可代為${\displaystyle R}$，${\displaystyle \mathbf {Ab} }$可代為${\displaystyle _{R}\mathbf {Mod} }$。
• 層的正像與逆像。
• 群表示理論中的弗羅貝尼烏斯互反定理（詳閱誘導表示）。

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

• Pierre Schapira, Categories and Homological Algebra