利萨茹曲线

利萨茹曲线由以下参数方程定义：

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(\theta )\\y(\theta )=b\sin(n\theta +\phi )\end{cases}}}$

其中${\displaystyle 0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}}$，${\displaystyle n\geq 1\,}$。

${\displaystyle n}$称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则${\displaystyle n={\frac {q}{p}}\,}$，参数方程可以写作：

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(p\theta )\\y(\theta )=b\sin(q\theta +\phi )\\0\leq \theta \leq 2\pi \end{cases}}}$，

其中${\displaystyle 0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2p}}}$。

• 若${\displaystyle n}$为无理数，曲线在长方形${\displaystyle [-a,a]\times [-b,b]}$中稠密。
• 若${\displaystyle n}$为有理数，
  • 曲线是${\displaystyle 2q}$次代数曲线若${\displaystyle \phi \in \left(0,{\frac {\pi }{2p}}\right]}$对奇数${\displaystyle p}$，或${\displaystyle \phi \in \left[0,{\frac {\pi }{2p}}\right)}$对偶数${\displaystyle p}$。
  • 曲线是${\displaystyle q}$次代数曲线的一部份若${\displaystyle \phi =0\,}$对奇数${\displaystyle p}$，或${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2p}}}$对偶数${\displaystyle p}$。

• 若${\displaystyle n}$为偶数而${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$，或若${\displaystyle n}$为奇数而${\displaystyle \phi =0\,}$，则曲线是第${\displaystyle n}$个切比雪夫多项式${\displaystyle T_{n}}$的曲线的一部份。

• 若${\displaystyle a=b}$，${\displaystyle n=1}$，则曲线是椭圆。
  • 若${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$，则这椭圆其实是圆。
  • 若${\displaystyle \phi =0\,}$，则这椭圆其实是线段。
• 若${\displaystyle a=b}$，${\displaystyle n=q=2}$（所以${\displaystyle p=1}$），则曲线是besace。
  • 若${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$，则这besace是拋物线一部份。
  • 若${\displaystyle \phi =0\,}$，则这besace是一个热罗诺双纽线。

以下是利萨茹曲线的例子，其中${\displaystyle \phi =0}$，${\displaystyle a=b}$, ${\displaystyle p}$是奇数，${\displaystyle q}$是偶数，${\displaystyle |p-q|=1}$。

频率比n₁:n₂的情况

Δφ	2:3		Δφ	3:4
0			0
¹/₂·¹/₄·π			¹/₃·¹/₄·π
¹/₂·¹/₂·π			¹/₃·¹/₂·π
¹/₂·³/₄·π			¹/₃·³/₄·π
¹/₂·π			¹/₃·π
5/8·π			5/12·π
³/₄·π			¹/₂·π
7/8·π			7/12·π
1·π			²/₃·π

藉由使用利萨茹圖形可以測量出兩個信號的頻率比與相位差。

• 利萨茹曲线的Java 3D示範 （页面存档备份，存于）