同倫

两个将环面映射到R³的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。

給定兩個拓撲空間 ${\displaystyle X\,\!}$ 和 ${\displaystyle Y\,\!}$。考慮兩個連續函數 ${\displaystyle f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$，若存在一個定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的連續映射 ${\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}$ 使得：

• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}$

則稱${\displaystyle H}$是 ${\displaystyle f,\,g}$之间的一个同倫[1]^:183。

如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。 我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。

另一種觀點是：對每個${\displaystyle x\in X\,\!}$，函數 ${\displaystyle H\,\!}$ 定義一條連接 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 與 ${\displaystyle g(x)\,\!}$的路徑：

${\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}$

右侧的循环动画展示了两个嵌入R³中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R³。f，g 是从环面到 R³的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了h_t(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

例一：取 ${\displaystyle X=\mathbb {R} \,\!}$, ${\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}$, ${\displaystyle f(x)=1\,\!}$ 及 ${\displaystyle g(x)=-1\,\!}$。則${\displaystyle f\,\!}$ 與 ${\displaystyle g\,\!}$ 透過下述函數在 ${\displaystyle Y\,\!}$ 中同倫。

${\displaystyle H(x,t)=1-2t\,\!}$

（注意到此例子不依賴於變數 ${\displaystyle x}$，通常並非如此。）

註：「在${\displaystyle Y}$中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將${\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}$代為子空間${\displaystyle Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!}$，則雖然${\displaystyle f\,\!}$ 與 ${\displaystyle g\,\!}$仍取值在${\displaystyle Y'\,\!}$，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。

例二：取${\displaystyle X=[0,1]\,\!}$,${\displaystyle Y=\mathbb {C} \,\!}$,${\displaystyle f(x)=e^{2i\pi x}\,\!}$ 及 ${\displaystyle g(x)=0\,\!}$。则${\displaystyle f\,\!}$描繪一個以原點為圓心的單位圓； ${\displaystyle g\,\!}$停在原點。${\displaystyle f\,\!}$ 與 ${\displaystyle g\,\!}$ 透過下述連續函數同倫：

${\displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!}$

幾何上來看，對每個值${\displaystyle t\,\!}$，函數${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}$描繪一個以原點為圓心，半徑 ${\displaystyle 1-t}$ 的圓。

為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設${\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}$是連續函數，固定子空間 ${\displaystyle K\subset X}$；若存在前述同倫映射 ${\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}$，滿足：

• ${\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}$
• ${\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)}$

則稱 ${\displaystyle f,g}$ 相對於 ${\displaystyle K}$ 同倫。若取 ${\displaystyle K=\emptyset }$，則回到原先的同倫定義。

給定兩個拓撲空間${\displaystyle E\,\!}$ 與 ${\displaystyle F\,\!}$，我們稱之同倫等價（或稱具相同倫型），当且仅当存在兩個連續映射${\displaystyle f\,:\,E\rightarrow F\,\!}$與${\displaystyle g\,:\,F\rightarrow E\,\!}$，使得：

• ${\displaystyle g\circ f\,\!}$ 同倫到 ${\displaystyle E\,\!}$ 的恆等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$。
• ${\displaystyle f\circ g\,\!}$ 同倫到 ${\displaystyle F\,\!}$ 的恆等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$。

同胚蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：

例三：

• 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\,\!}$，即去掉一點的平面。
• 線段${\displaystyle [a,b]\,\!}$、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通、同調群及上同調群等等。

同痕（Isotopy）是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數${\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$ 和 ${\displaystyle g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$ 是嵌入，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。

定義如此：${\displaystyle f\,\!}$ 與 ${\displaystyle g\,\!}$被稱為同痕的，若且唯若存在連續映射${\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}$使之滿足：

• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}$
• 對所有${\displaystyle t\in [0,1]\,\!}$，映射${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}$是個嵌入映射。

同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

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