拉回 (范畴论)

明确地说，态射f和g的拉回由一个对象P和两个态射 p₁ : P → X与p₂ : P → Y组成，使得图表

交换。并且拉回(P, p₁, p₂)对这个图表必须是通用的。这便是说，任何其它这样的三元组(Q, q₁, q₂)一定存在惟一的u : Q → P使得图表

交换。和所有泛构造一样，拉回如果存在必然在同构的意义下是惟一的。

一个cospan X → Z ← Y的弱拉回是在cospan上面的锥只须满足弱泛性质，这就是说中间映射u : Q → P不必是惟一的。

在集合范畴中，f与g的拉回是集合

${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\},\,}$

以及投影映射的限制${\displaystyle \pi _{1}}$与${\displaystyle \pi _{2}}$映到X×_Z Y。

• 这个例子启发另一种方式考虑拉回：作为态射f o p₁, g o p₂ : X×Y → Z的等化子，这里X×Y是X和Y的二元积

而p₁与p₂是自然投影。这说明拉回在任何具有二元积和等化子的范畴中存在。事实上，由极限存在定理，在具有有终对象、二元积和等化子的范畴中所有有限极限存在。

拉回的另一个例子来自纤维丛理论：给定一个纤维映射π : E → B以及一个连续映射f : X → B，拉回 X ×_B E是X上的纤维丛，称为拉回丛。伴随的交换图表是纤维丛映射。

在任何具有终对象Z的范畴中，拉回X ×_Z Y恰好是普通积X×Y。

• 如果X ×_ZY存在，那么Y ×_Z X也存在，且存在态射X ×_Z Y ${\displaystyle \cong }$ Y ×_ZX。
• 单态射在拉回下不变：如果箭头f单，那么它就是箭头p₂。例如，在集合范畴中，如果X是Z的子集，那么对任何g : Y → Z，拉回X ×_Z Y是X在g下的逆像。
• 同构态射也不变，因此X ×_X Y ${\displaystyle \cong }$ Y对任何映射Y → X成立。

• 拉回的范畴对偶称为推出。
• 微分几何中的拉回。
• 关系代数中的相等连接。

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories （页面存档备份，存于） (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
• Cohn, Paul M.; Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland, ISBN 90-277-1213-1 (Originally published in 1965, by Harper & Row).

• 有趣的网页给出了有限集合中拉回的例子，作者为Jocelyn Paine。