球谐函数

球坐标下的拉普拉斯方程式:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0\,\!}$ 。

實值的球諧函數 Y_lm，l = 0 到 4 （由上至下），m=0 到 4（由左至右）。負數階球諧函數 Y_l,-m 可由正數階函數對 z-軸轉 90/m 度得到。

利用分离变量法，设定 ${\displaystyle f(r,\ \theta ,\ \varphi )=R(r)Y(\theta ,\ \varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )}$ 。其中${\displaystyle Y(\theta ,\ \varphi )}$代表角度部分的解，也就是球谐函数。

代入拉普拉斯方程，得到：

${\displaystyle {\Theta \Phi \over r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{dR \over dr}\right)+{R\Phi \over r^{2}\sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{R\Theta \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{d^{2}\Phi \over d\varphi ^{2}}=0\,\!}$

分离变量后得：

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {1}{R}}{\dfrac {d}{dr}}\left(r^{2}{\dfrac {dR}{dr}}\right)=\lambda \\{\dfrac {1}{\Phi }}{\dfrac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}\\\lambda +{\dfrac {1}{\Theta \sin \theta }}{\dfrac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\dfrac {d\Theta }{d\theta }}\right)-{\dfrac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=0\end{cases}}}$ ，整理得${\displaystyle {\begin{cases}r^{2}R''+2rR'-\lambda R=0\\\Phi ''+m^{2}\Phi =0\\\sin \theta {\dfrac {d}{d\theta }}(\sin \theta \Theta ')+(\lambda \sin ^{2}\theta -m^{2})\Theta =0\end{cases}}}$

这里，${\displaystyle \Phi }$是一个以${\displaystyle 2\pi }$为周期的函数，即满足周期性边界条件${\displaystyle \Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )}$，因此${\displaystyle m}$必须为整数。而且可以解出：

${\displaystyle \Phi =e^{im\phi }}$，${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$

而对于${\displaystyle \Theta }$的方程，进行变量替换 ${\displaystyle t=\cos \theta }$，${\displaystyle dt=-\sin \theta d\theta }$，${\displaystyle |t|\leqslant 1}$，得到关于${\displaystyle t}$的伴随勒让德方程。方程的解应满足在${\displaystyle [-1,1]}$区间上取有限值，此时必须有${\displaystyle \lambda =l(l+1)}$，其中${\displaystyle l}$为自然数，且${\displaystyle l\geqslant |m|}$。对应方程的解为${\displaystyle P_{\ell }^{m}(t)}$。即可以解出：

${\displaystyle \Theta =P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$，${\displaystyle l\in \mathbb {N} ,l\geqslant |m|}$

故球谐函数可以表达为：

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\Phi (\varphi )\Theta (\theta )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,\!}$ ，${\displaystyle l\in \mathbb {N} ,m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm l}$；

其中N 是归一化因子。

經過歸一化後，球谐函数表達為：

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\ \varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }\,\!}$ ；

这里的 ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}\,\!}$ 称为 ${\displaystyle \ell \,\!}$ 和 ${\displaystyle m\,\!}$ 的球谐函数。以上推导过程中，${\displaystyle i\,\!}$ 是虛數單位， ${\displaystyle P_{\ell }^{m}\,\!}$ 是伴随勒让德多项式 。

其中${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)\,\!}$ 用方程式定義為：

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{\ell }(x)\,}$ ；

而 ${\displaystyle P_{\ell }(x)\,\!}$ 是 ${\displaystyle l}$ 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

${\displaystyle P_{\ell }(x)={1 \over 2^{\ell }\ell$ !}{d^{\ell } \over dx^{\ell }}(x^{2}-1)^{l}} 。