阿贝尔求和公式

设${\displaystyle a_{n}=1}$，${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x}}}$，則${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$，恆等式變為

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u,}$

因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。

设${\displaystyle a_{n}=1}$，${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}}$，則${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$，故

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

公式在${\displaystyle \Re (s)>1}$時成立，并且可以用来推导狄利克雷定理，其斷言，若以${\displaystyle \zeta }$表示黎曼ζ函数，則${\displaystyle \zeta (s)}$在s = 1處有留数为1的简单極點。

设${\displaystyle a_{n}=\mu (n)}$，${\displaystyle \mu }$為默比乌斯函数，且${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}}$，則${\displaystyle A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$，故${\displaystyle A}$為梅滕斯函数，而恆等式變成

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

上式在${\displaystyle \Re (s)>1}$時成立。