五角二十四面體

構成五角二十四面體的五邊形。

五角二十四面體由24個全等的具有鏡像對稱性之不等邊五邊形組成[13][12]。這種不等邊五邊形有兩種邊長，有三個邊為短邊（下圖中以b表示）、兩個邊為長邊（下圖中以a表示）。長邊的邊長為短邊的一半再加上短邊的三波那契常數倍[15]，即：

短邊${\displaystyle$ :} 長邊${\displaystyle =1:{\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2}}}$

其中，${\displaystyle t}$為三波那契常數，即：

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,}$ （OEIS數列A058265）

這個數為${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}$的實根[16]。

這個不等邊五邊形兩個長邊相鄰，其夾角為二減去三波那契常數的反餘弦值（${\displaystyle \arccos {\left(2-t\right)}}$約為80.75度）；其餘4個角皆為二分之一減去一半的三波那契常數之反餘弦值（${\displaystyle \arccos {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {t}{2}}\right)}}$約為114.81度）[15]。

若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長，則相應的五角二十四面體面的短邊邊長為[13][12]：

${\displaystyle b={\frac {\sqrt {6\left(4-{\sqrt[{3}]{2\left(13+3{\sqrt {33}}\right)}}-{\sqrt[{3}]{2\left(13-3{\sqrt {33}}\right)}}\right)}}{6}}\approx 0.593465355971987310502}$

相應的五角二十四面體面的長邊邊長為[13][12]：

${\displaystyle a={\frac {\sqrt {3\left(4+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)}}{6}}\approx 0.8425091624448604672504}$

若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長，則相應的五角二十四面體的體積與表面積為[10]：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3{\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}&&\approx 19.299\,94\\V&={\sqrt {\frac {11(t-4)}{2(20t-37)}}}&&\approx 7.4474\end{aligned}}}$

而根據相應的邊長關係[13][12]，可以得到以邊長表示的體積與表面積：

${\displaystyle A={\frac {24a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {12b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}\approx 27.19a^{2}\approx 54.8b^{3}}$

${\displaystyle V={\frac {4a^{3}(2+3t){\sqrt {1-2t}}}{(1+t)(1-4t^{2})}}={\frac {2b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}\approx 12.45a^{3}\approx 35.63b^{3}}$

五角二十四面體圖有60條邊和38個頂點，其中度為3的頂點有32個；度為4的頂點有6個。這個圖的直徑是7，半徑是6[22]，其中半徑代表圖中所有頂點偏心率的最小值、直徑代表代表圖中所有頂點偏心率的最大值、偏心率為某頂點和离其最远点的距离[23]。換句話說五角二十四面體圖在不考慮循環路徑下頂點間最大距離只少相距6個頂點，最長距離不超過7個頂點[22]。五角二十四面體圖的圍長為5，即在這個圖內最小的循環路徑為5個頂點[22]。

五角二十四面體的平行投影是一種五角二十四面體圖

以類似施莱格尔图的方式呈現的五角二十四面體圖

五角二十四面體圖的另一種表示法

• 五角二十四面體圖的特徵多項式為[22]：

  ${\displaystyle (x-2)^{2}(x-1)^{3}x(x^{2}-x-7)(x^{2}+x-3)(x^{2}+2x-1)^{2}(x^{3}-4x+1)^{3}(x^{5}+x^{4}-8x^{3}-9x^{2}+7x+4)^{3}}$