共轭转置

矩阵${\displaystyle A}$的共轭转置（英語：，又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置（英語：））${\displaystyle A^{*}}$的定义为：

${\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}}$

其中${\displaystyle (\cdot )_{i,j}}$表示矩阵i行j列上的元素，${\displaystyle {\overline {(\cdot )}}}$表示标量的复共轭。

这一定义也可以写作：

${\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}}$

其中${\displaystyle A^{\mathrm {T} }\,\!}$是矩阵A的转置，${\displaystyle {\overline {A}}\,\!}$表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：

• ${\displaystyle A^{*}\,\!}$或${\displaystyle A^{\mathrm {H} }\,\!}$，常用于线性代数
• ${\displaystyle A^{\dagger }\,\!}$，普遍用于量子力学，而同時${\displaystyle A^{*}\,\!}$只表示為${\displaystyle A\,\!}$的複數共軛。[1]
• ${\displaystyle A^{+}\,\!}$（但这一记号通常指矩阵的摩尔－彭若斯广义逆)

注意：某些情况下${\displaystyle A^{*}\,\!}$也指仅对矩阵元素取复共轭，而不做矩阵转置，切勿混淆。