雙曲複數

對於${\displaystyle z=x+jy}$，其共軛值${\displaystyle z^{*}=x-jy}$。對於任何雙曲複數${\displaystyle z,w}$，

${\displaystyle (z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}}$

${\displaystyle (zw)^{*}=z^{*}w^{*}}$

${\displaystyle (z^{*})^{*}=z}$

可見它是自同構的。

定義內積為 ${\displaystyle \langle z,w\rangle =Re(zw^{*})=Re(zw^{*})=xu-yv}$ 。若${\displaystyle \langle z,w\rangle =0}$ ，說${\displaystyle z,w}$（雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：

${\displaystyle \lVert z\rVert =\langle z,z\rangle =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}}$。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert }$。

除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

${\displaystyle z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {z^{*}}{zz^{*}}}={\frac {z^{*}}{\lVert z\lVert }}}$

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為${\displaystyle k(1\pm j)}$，其中${\displaystyle k}$是實數。

雙曲複數的冪等元有：

列方程${\displaystyle (x+jy)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2xyj}$。有四個解：${\displaystyle 1,0,s=(1-j)/2,s^{*}=(1+j)/2}$。

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。${\displaystyle z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^{*}}$ 。

若將${\displaystyle z=ae+be^{*}}$表示成${\displaystyle (a,b)}$，雙曲複數的乘法可表示成${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)}$ 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$，範數${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert =ab}$。